每日一题：2020-07-02

每日一题: 2020-07-02

题目: 已知抛物线$y=3ax^2+2bx+c$.
(1) 若$a=b=1, c=-1$, 求抛物线与$x$ 轴公共点的坐标;
(2) 若$a=b=1$, 且当$-1\lt x\lt 1$ 时, 抛物线与$x$ 轴有且只有一个公共点, 求$c$ 的取值范围.
(3) 若$a+b+c=0$, 且$x_1=0$ 时, 对应的$y_1>0$; $x_2=1$ 时, 对应的$y_2>0$, 试判断当$0<x<1$ 时,
抛物线与$x$ 轴是否有公共点? 若有, 请证明你的结论; 若没有, 阐述理由.

参考思路

(1) 由$3x^2+2x-1=0\Rightarrow (3x-1)(x+1)=0\Rightarrow x_1=-1, x_2=\frac{1}{3}$.
(2) 当$a=b=1$ 时, 抛物线为$y=3x^2+2x+c$, 此时对称轴$x=-\frac{1}{3}$, 要抛物线在$-1\lt x\lt 1$
范围内与$x$ 轴只有一个公共点, 则下列两种情况满足要求
(a) $\Delta=0\Rightarrow 4-12c=0\Rightarrow c=\frac{1}{3}$.
(b) 抛物线在$x=-1$ 时的函数值小于$0$, 且在 $x=1$ 时的函数值大于$0$.
即$3-2+c\lt 0\Rightarrow c\lt -1$; 且 $3+2+c\gt 0\Rightarrow c\gt -5$.
综上当$-5\lt c\lt -1$ 或$c=\frac{1}{3}$ 时, 满足要求.
(3)由题意知:
\[
\left\{\begin{array}{lr} a+b+c=0 \\ c\gt 0 \\ 3a+2b+c>0 \end{array}\right.\Rightarrow a\gt c\gt 0
\]
因为对称轴方程为: $x=-\frac{b}{3a}=\frac{a+c}{3a}$, 所以$\frac{a}{3a}\lt \frac{a+c}{3a}\lt \frac{a+a}{3a}\Rightarrow \frac{1}{3}\lt \frac{a+c}{3a}\lt \frac{2}{3}$.
说明对称轴在$0$ 到$1$ 之间, 又顶点的纵坐标为
$y=\frac{12ac-4b^2}{12a}=\frac{3ac-b^2}{3a}=\frac{3ac-(a+c)^2}{3a}=-\frac{a^2-ac+c^2}{3a}$
因为$a^2-ac+c^2=(a-\frac{c}{2})^2+\frac{3c^2}{4}>0$, 即纵坐标$y\lt 0$, 所以有公共点.