每日一题：2020-07-04

每日一题: 2020-07-04

题目: 已知二次函数的图象与$x$ 轴两交点的距离为$2$, 若将图象沿$y$ 轴方向向上平移$3$ 个
单位, 则图象恰好过原点, 且与$x$ 轴两交点间的距离为$4$, 求原二次函数的表达式.

参考思路

由题意可设二次函数的解析式为: $y=ax(x\pm 4)-3=ax^2\pm 4ax-3$, 设抛物线与$x$ 轴的交
点为$(x_1,0),(x_2,0)$, 由韦达定理得$x_1+x_2=\pm 4, x_1x_2=-\frac{3}{a}$,根据$|x_1-x_2|=2$ 得
\[
\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\Rightarrow a^2+a=0\Rightarrow a=-1
\]
所以原二次函数的表达式为: $y=-x^2+4x-3$ 或$y=-x^2-4x-3$.