每日一题：2020-07-05

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每日一题: 2020-07-05

已知函数y=(a+2)x2−2(a2−1)x+1y=(a+2)x^2-2(a^2-1)x+1,其中自变量xx 为正整数, a>4a\gt 4 也是正整数.
问: 当xx 为何值时, 函数值最小?

参考思路

函数整理为

y=(a+2)(x−a2−1a+2)2+1−(a2−1)2a+2y=(a+2)(x-\frac{a^2-1}{a+2})^2+1-\frac{(a^2-1)^2}{a+2}

所以其对称轴是直线

x=a2−1a+2=(a−2)+3a+2x=\frac{a^2-1}{a+2}=(a-2)+\frac{3}{a+2}

因为a>4⇒0<3a+2<1⇒a−2<a2−1a+2<a−1a\gt 4\Rightarrow 0\lt \frac{3}{a+2}\lt 1\Rightarrow a-2\lt \frac{a^2-1}{a+2}\lt a-1
所以函数最小值只可能在xx 取a−2,a−1a-2,a-1 之一时达到.
当x=a−2x=a-2 时, y1=(a+2)(a−2)2−2(a2−1)(a−2)+1y_1=(a+2)(a-2)^2-2(a^2-1)(a-2)+1;
当x=a−1x=a-1 时, y2=(a+2)(a−1)2−2(a2−1)(a−1)+1y_2=(a+2)(a-1)^2-2(a^2-1)(a-1)+1;
考虑y2−y1=a−4>0y_2-y_1=a-4\gt 0, 所以当x=a−2x=a-2 时, 函数值最小.