每日一题：2020-07-06

每日一题: 2020-07-06

题目: 已知$a,b,c$ 为正整数, 二次函数$y=ax^2+bx+c$, 当$-2\leq x\leq 1$ 时, $y$ 的最
大值为$7$, 最小值为$-1$, 求二次函数的解析式.

参考思路

由题意知二次函数的图象开口向上, 与$y$ 轴的交点在$y$ 轴的正半轴上, 对称轴
$x=-\frac{b}{2a}<0$ 位于第二,三象限. 设$f(x)=ax^2+bx+c$.
(1) 当$-\frac{b}{2a}\leq -2$ 时, 有
\[
\left\{\begin{array}{lr} f(-2)=4a-2b+c=-1 \\ f(1)=a+b+c=7 \end{array}\right.\Rightarrow 3(a-b)=-8
\]
显然, 此方程没有整数解.
(2) 当$-2\lt -\frac{b}{2a}\leq -\frac{1}{2}$ 时, 有
\[
\left\{\begin{array}{lr} f(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}=-1 \\ f(1)=a+b+c=7 \end{array}\right.
\]
因为$a,b$ 是正整数, 所以, 由上可得: $\frac{b^2}{4a}-1=c\geq 1\Rightarrow b^2\geq 8a$, 且$b$ 为偶数
又$b=7-a-c\leq 5\Rightarrow b=4,a=2,c=1$, 经检验满足条件.
(3) 当 $-\frac{1}{2}\lt -\frac{b}{2a}<0$ 时, 有$b\lt a$, 且
\[
\left\{\begin{array}{lr} f(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}=-1 \\ f(-2)=4a-2b+c=7 \end{array}\right.
\]
可得: $\frac{b^2}{4a}-1=c\geq 1\Rightarrow 8a\leq b^2\lt a^2\Rightarrow a>8$
从而$7=4a-2b+c>2a+c>17$.矛盾!
综上, $a=2,b=4,c=1$, 故二次函数解析式为$y=2x^2+4x+1$.