每日一题：2020-07-08

每日一题: 2020-07-08

已知当$-1\lt x\lt 0$ 时, 二次函数$y=x^2-4mx+3$ 的值恒大于$1$, 求$m$ 的取值范围.

参考思路

已知二次函数$f(x)=x^2-4mx+3$ 开口向上, 对称轴方程为: $x=2m$.
(1) 当$2m\geq 0$ 时, $f(x)$ 在$-1\lt x\lt 0$ 内是减函数, 所以$f(x)\geq f(0)=3$ 恒成立.
所以$m\geq 0$ 时满足要求.
(2) 当$-1\leq 2m\lt 0$ 即$-\frac{1}{2}\leq m\lt 0$时, $f(x)$ 在$x=2m$ 时取得最小值,
即要$f(2m)\gt 1$, 解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}\lt m\lt \frac{\sqrt{2}}{2}$,
所以$-\frac{1}{2}\leq m\lt 0$ 满足要求.
(3) 当$2m\lt -1$ 即$m\lt -\frac{1}{2}$ 时, $f(x)$ 在$-1\lt x\lt 0$ 内是增函数,
所以$f(-1)\geq 1\Rightarrow m\geq -\frac{3}{4}$, 所以$-\frac{3}{4}\leq m\lt -\frac{1}{2}$ 满足要求.

综上所述, 当$m\geq -\frac{3}{4}$ 时满足要求.