每日一题：2020-07-10

每日一题: 2020-07-10

题目: 设$p$ 是实数, 二次函数$y=x^2-2px-p$ 的图象与$x$ 轴有两个不同的交点$A(x_1,0),B(x_2,0)$.
(1) 求证: $2px_1+x_2^2+3p>0$;
(2) 若$A,B$ 两点之间距离不超过$|2p-3|$, 求$p$ 的最大值.

参考思路

(1)由题意: $\Delta=(-2p)^2-4(-p)=4p^2+4p>0, x_1+x_2=2p, x_1x_2=-p$, 且$x_2^2=2px_2+p$.
$\therefore 2px_1+x_2^2+3p=2px_1+(2px_2+p)+3p=2p(x_1+x_2)+4p=4p^2+4p>0$.

(2) $AB=|x_2-x_1|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{4p^2+4p}\leq |2p-3|$.
两边平方, 解得$p\leq \frac{9}{16}$, 经检验$p=\frac{9}{16}$ 符合题意,
故$p$ 的最大值为$\frac{9}{16}$.