每日一题：2020-07-12

每日一题: 2020-07-12

题目: 已知函数$f(x)=x^2+ax+3-a$, 在$-2\leq x\leq 2$ 范围内总有$f(x)\geq 2$ 成立,
求$a$ 的取值范围.

参考思路

因为$f(x)$ 的对称轴为$x=-\frac{a}{2}$
(1) 当$-\frac{a}{2}\leq -2$ 即$a\geq 4$ 时, 函数$f(x)$ 在$-2\leq x\leq 2$ 范围内是
增函数, 所以有$f(-2)=4-2a+3\geq 2$ 解得$a\leq \frac{5}{3}$. 此时无解.

(2) 当$-\frac{a}{2}\geq 2$ 即$a\leq -4$ 时, 函数$f(x)$ 在$-2\leq x \leq 2$ 范围内
是减函数, 所以有$f(2)=4+2a+3-a\geq 2$ 解得$a\leq 5$. 故得$a\leq -4$.

(3) 当$-2\lt -\frac{a}{2}\lt 2$ 即$-4\lt a\lt 4$ 时, $f(x)$ 在$x=-\frac{a}{2}$ 时
取得最小值, 即$f(-\frac{a}{2})=\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}+3-a\geq 2$ 解得$-2-\sqrt{2}\leq a\leq -2+2\sqrt{2}$
得$-4\lt a\leq -2+2\sqrt{2}$.

综上可得: $a\leq -2+2\sqrt{2}$