每日一题：2020-07-16

每日一题: 2020-07-16

题目: 已知不为零的两组实数$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$ 和$b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n$.
请证明: $(a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n)^2$.

参考思路

设$f(x)=(a_1x+b_1)^2+(a_2x+b_2)^2+\cdots+(a_nx+b_n)^2$, 显然有$f(x)\geq 0$.
又$f(x)=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)x^2+2(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)x+(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$.
因为关于$x$ 的二次函数开口向上, 且恒有$f(x)\geq 0$, 因此有$\Delta\leq 0$, 即
$\Delta=4(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2-4(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)\leq 0$.
所以得证.