每日一题：2020-07-17

每日一题: 2020-07-17

题目: 正整数$a_1,a_2,\cdots, a_{10}$ 满足$a_1\leq a_2\leq \cdots \leq a_{10}$, 且
其中任意三个都不能成为三角形的三边长, 求$\frac{a_{10}}{a_1}$ 的最小值.

参考思路

因为$a_1+a_2\leq a_3, a_2+a_3\leq a_4,\ldots$ 所以$a_1+2a_2\leq a_4, 2a_1+3a_2\leq a_5$.
$3a_1+5a_2\leq a_6$, $5a_1+8a_2\leq a_7$, $8a_1+13a_2\leq a_8$, $13a_1+21a_2\leq a_9$, $21a_1+34a_2\leq a_{10}$.
所以$55a_1\leq a_{10}$, 即$\frac{a_{10}}{a_1}\geq 55$.

另一方面, 当$a_1=a_2=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_n, n=1,2,\ldots,8$ 时,$\frac{a_{10}}{a_1}=55$ .