每日一题：2020-07-20

每日一题: 2020-07-20

题目: 已知实数$a,b,c$ 满足$a+b+c=2, abc=4$.
(1) 求$a,b,c$ 中最大者的最小值;
(2) 求$|a|+|b|+|c|$ 的最小值.

参考思路

(1) 不妨先设$a$ 是$a,b,c$ 中的最大者, 再求$a$ 的最小值. 因为$a>0$, 且
$b+c=2-a, bc=\frac{4}{a}$, 因此$b,c$ 为方程$x^2-(2-a)x+\frac{4}{a}=0$ 的两个实数根.
因此$\Delta=(2-a)^2-4\cdot \frac{4}{a}\geq 0\Rightarrow (a^2+4)(a-4)\geq 0\Rightarrow a\geq 4$.
当$a=4,b=c=-1$ 时, 满足题设条件. 所以$a$ 的最小值为$4$, 即$a,b,c$ 中的最大者的最小值为$4$.

(2) 因为$abc=4>0$, 所以$a,b,c$ 为全大于$0$ 或一正二负.
若$a,b,c$ 均大于$0$, 由(1)知$a,b,c$ 中最大者不小于$4$, 这与$a+b+c=2$ 矛盾.
若$a,b,c$ 为一正二负, 不妨设$a\gt 0, b\lt 0, c\lt 0$. 则
$|a|+|b|+|c|=a-b-c=a-(2-a)=2a-2$, 由(1)知$a\geq 4$, 所以
$|a|+|b|+|c|\geq 2\times 4-2=6$.
当$a=4,b=c=-1$ 时等号成立.
故$|a|+|b|+|c|$ 的最小值为$6$.