每日一题：2020-07-21

每日一题: 2020-07-21

题目: 如图所示, 点$B$ 是反比例函数$y=\frac{8}{x}(x>0)$ 图象上一点, 过点$B$ 分别向
坐标轴作垂线, 垂足为$A,C$. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过$OB$ 的中点$M$,
与$AB,BC$ 分别相交于点$D,E$. 连接$DE$ 并延长交$x$ 轴于点$F$, 点$G$ 与点$O$ 关于点
$C$ 对称, 连接$BF,BG$.
(1) 求$k$ 的值;
(2) 求$\triangle BDF$ 的面积;
(3) 求证: 四边形$BDFG$ 为平行四边形.

参考思路

(1)设$B(m,\frac{8}{m})\Rightarrow M(\frac{m}{2}, \frac{4}{m})$, 因为$M$ 在反比例
函数$y=\frac{k}{x}$ 图象上, 所以$k=\frac{m}{2}\cdot \frac{4}{m}=2$.

(2) 所以$D(\frac{m}{4},\frac{8}{m}), E(m,\frac{2}{m})\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{CE}{CB}=\frac{1}{4}$.
$S_{\triangle BDF}=S_{\triangle DBO}=\frac{3}{4}S_{\triangle OAB}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot OA\cdot AB=\frac{3}{8}\cdot m\cdot \frac{8}{m}=3$.

(3) 因为$AB\parallel OF\Rightarrow \frac{CF}{BD}=\frac{CE}{EB}=\frac{AD}{DB}\Rightarrow CF=AD$
再$CO=CG=AB\Rightarrow AB-AD=CG-CF\Rightarrow DB=FG$, 因为$DB\parallel FG$, 所以
四边形$DFGB$ 为平行四边形.