每日一题：2020-07-22

每日一题: 2020-07-22

题目: 如图, 抛物线$y=\frac{3+\sqrt{3}}{6}x^2+bx+c$ 与$x$ 轴交于$A,B$ 两点, 点$A,B$
分别位于原点的左,右两侧, $BO=3AO=3$, 过点$B$ 的直线与$y$ 轴正半轴和抛物线的交点分
别为$C,D$, $BC=\sqrt{3}CD$.
(1) 求$b,c$ 的值;
(2) 求直线$BD$ 的函数解析式.

参考思路

(1)由题意设抛物线方程
$y=\frac{3+\sqrt{3}}{6}(x-3)(x+1)=\frac{3+\sqrt{3}}{6}(x^2-2x-3)=\frac{3+\sqrt{3}}{6}x^2-\frac{3+\sqrt{3}}{3}x-\frac{3+\sqrt{3}}{2}$
$\therefore b=-\frac{3+\sqrt{3}}{3}, c=-\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.

(2) 因为$BD$ 过点$(3,0)$, 所以设直线$BD: y=k(x-3) (k<0)$.
$\because BC=\sqrt{3}CD\Rightarrow S_{\triangle OBC}=\sqrt{3}S_{\triangle OCD}$.
所以$\frac{1}{2}\times OB\times OC=\sqrt{3}\times \frac{1}{2}\times OC\times |x_D|\Rightarrow |x_D|=\sqrt{3}$, 即$x_D=-\sqrt{3}$.

另一方面联立
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=\frac{3+\sqrt{3}}{6}(x-3)(x+1) \\ y=k(x-3) \end{array}\right.
\]消去$y$ 得$x_B=3,x_D=\frac{6k}{3+\sqrt{3}}-1$ (这里$x_B,x_D$ 分别表示$B,D$ 点的横坐标)
所以$\frac{6k}{3+\sqrt{3}}-1=-\sqrt{3}\Rightarrow -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
故直线方程为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$.