每日一题：2020-07-23

每日一题: 2020-07-23

(2020武汉中考): 已知直线$y=kx(k\neq 0, k$ 为常数) 与抛物线$y=x^2-6$ 交于点$E,F$ 两
点, $M$ 是$EF$ 的中点; 直线$y=-\frac{4}{k}x$ 与该抛物线交于$G,H$ 两点, $N$ 为线段
$GH$ 的中点. 求证: 直线$MN$ 经过一个定点.

参考思路

如图所示, 设$E(x_1,y_1),F(x_2,y_2),G(x_3,y_3),H(x_4,y_4)$, 所以$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}),N(\frac{x_3+x_4}{2},\frac{y_3+y_4}{2})$.
联立
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=x^2-6 \\ y=kx \end{array}\right.
\]消去$y$ 整理得:$x^2-kx-6=0\Rightarrow x_1+x_2=k\Rightarrow M(\frac{k}{2},\frac{k^2}{2})$.
联立
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=x^2-6 \\ y=-\frac{4}{k}x \end{array}\right.
\]消去$y$ 整理得:$x^2+\frac{4}{k}x-6=0\Rightarrow x_3+x_4=-\frac{2}{k}\Rightarrow N(-\frac{2}{k},\frac{8}{k^2})$.

设直线$MN$ 的解析式为: $y=mx+b$ 代入$M,N$ 坐标得
\[
\left\{\begin{array}{lr} \frac{k^2}{2}=\frac{k}{2}m+b \\ \frac{8}{k^2}=-\frac{2}{k}m+b \end{array}\right.
\]
两式相减得: $\frac{k^2}{2}-\frac{8}{k^2}=(\frac{k}{2}+\frac{2}{k})m\Rightarrow \frac{k^4-16}{2k^2}=\frac{k^2+4}{2k}m$.
所以$m=\frac{k^2-4}{k}$ 代入得$b=2$.
因此直线$MN$ 经过$y$ 轴上一个定点$(0,2)$.