每日一题：2020-07-24

每日一题: 2020-07-24

(2020 黔西南州) 已知抛物线$y=ax^2+bx+6(a\neq 0)$ 交$x$ 轴于点$A(6,0)$ 和点$B(-1,0)$,
交$y$ 轴于点$C$.
(1) 求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2) 如图(1) , 点$P$ 是抛物线上位于直线$AC$ 上方的动点, 过点$P$ 分别作$x$ 轴, $y$
轴的平行线, 交直线$AC$ 于点$D,E$, 当$PD+PE$ 取得最大值时, 求点$P$ 的坐标;
(3) 如图(2), 点$M$ 为抛物线对称轴$l$ 上一点, 点$N$ 为抛物线上一点, 当直线$AC$ 垂直
平分$\triangle AMN$ 的边$MN$ 时, 求点$N$ 的坐标.

参考思路

(1) 易求得解析式为: $y=-x^2+5x+6$, 顶点坐标为: $(\frac{5}{2},\frac{49}{4})$.
(2) $\because C(0,6)$, $\therefore AC$ 直线方程为$y=-x+6$, $\angle OAD=\angle ADP=45 ^{\circ}$.
所以$\triangle PDE$ 为等腰直角三角形, $PD=PE$, 所以$PD+PE$ 最大时$PE$ 也取得最大,
设点$P(t,-t^2+5t+6) (0\lt t\lt 6)$, 此时$E(t,-t+6)$, 所以$PE=-t^2+5t+6-(-t+6)=-t^2+6t=-(t-3)^2+9$.
即当$t=3$ 时$PE$ 取得最大值$9$, 此时$P$ 的坐标为$P(3,12)$.

(3) 设$M(\frac{5}{2},t)$ 是$l$ 上一点, 因为$M,N$ 关于直线$AC$ 对称, 设$N(x,y)$, 则
(i) 过$M,N$ 的直线的斜率为$1$, (ii) $M,N$ 中点在直线$AC$ 上. 故有
\[
\left\{\begin{array}{lr} \frac{y-t}{x-5/2}=1 \\ \frac{y+t}{2}=-\frac{5/2+x}{2}+6 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} x=6-t \\ y=\frac{7}{2} \end{array}\right.
\]所以$N(6-t,\frac{7}{2})$.
代入抛物线方程$y=-x^2+5x+6$ 得$\frac{7}{2}=-(6-t)^2+5(6-t)+6$ 解得$t_1=\frac{7+\sqrt{35}}{2}, t_2=\frac{7-\sqrt{35}}{2}$.
因此$N$ 的坐标为$N(\frac{5+\sqrt{35}}{2},\frac{7}{2})$ 或$N(\frac{5-\sqrt{35}}{2},\frac{7}{2})$.