每日一题：2020-07-26

每日一题: 2020-07-26

题目: 已知正六边形$ABCDEF$ 的边长为$1$, $QR$ 是正六边形内平行于$AB$ 的任意线段, 求
以$QR$ 为底边的内接于正六边形$ABCDEF$ 的$\triangle PQR$ 的最大面积.

参考思路

如图, $\triangle PQR$ 是取得最大面积, $P$ 应在$DE$ 上, $Q,R$ 应分别在$AF,BC$ 上.
过$P$ 作$PH\bot QR$ 于$H$, 交$AB$ 于$G$, 过$A,B$ 分别作$AM\bot QR$ 于$M$, $BN\bot QR$ 于$N$.
设$PH=x$, 则$HG=\sqrt{3}-x, QM=NR=AM\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=(\sqrt{3}-x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$.
$QR=2QM+MN=2(1-\frac{\sqrt{3}}{3}x)+1=3-\frac{2\sqrt{3}}{3}x$.
$\therefore S_{\triangle PQR}=\frac{1}{2}\cdot QR\cdot PH=\frac{1}{2}(3-\frac{2}{3}\sqrt{3}x)\cdot x=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\frac{3\sqrt{3}}{4})^2+\frac{9\sqrt{3}}{16}$.
当$x=\frac{3\sqrt{3}}{4}$, 即$Q,R$ 分别为$AF,BC$ 的中点时, $S_{\triangle PQR}$ 取
得最大值$\frac{9\sqrt{3}}{16}$.