每日一题：2020-07-30

每日一题: 2020-07-30

题目: 当一条直线交$\triangle ABC$ 三边所在的直线$BC,AC,AB$ 分别于点$D,E,F$ 时, 则有

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$

参考思路

如图, 连结$FC,AD$, 所以有$\frac{AF}{FB}=\frac{S_{\triangle ADF}}{S_{\triangle BDF}}$; $\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle CDF}}$;
$\frac{CE}{EA}=\frac{S_{\triangle CEF}}{S_{\triangle EAF}}=\frac{S_{\triangle CED}}{S_{\triangle AED}}=\frac{S_{\triangle CEF}+S_{\triangle CED}}{S_{\triangle EAF}+S_{\triangle EAD}}=\frac{S_{\triangle CDF}}{S_{\triangle ADF}}$

所以$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=\frac{S_{\triangle ADF}}{S_{\triangle BDF}} \cdot \frac{S_{\triangle BDF}}{S_{\triangle CDF}}\cdot \frac{S_{\triangle CDF}}{S_{\triangle ADF}}=1$

问题得证.