每日一题：2020-07-31

每日一同: 2020-07-31

题目: 如图, 已知$D$ 是$\triangle ABC$ 内的一点, 直线$BD$ 与边$AC,CD$ 与边$AB$ 分别
交于点$E,F$, 满足$AF=FB=CD,CE=DE$. 求$\angle BFC$.

参考思路

考虑$\triangle ABE$ 被直线$FC$ 所截应用梅涅劳斯定理有:

$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DE}\cdot \frac{CE}{CA}=1$

$\because FA=FB,EC,ED\Rightarrow BD=CA$
作$\angle CAG=\angle DBF$ 交$FC$ 于点$G$. 在$\triangle CAG$ 与$\triangle DBF$ 中
$CA=DB,\angle CAG=\angle DBF,\angle ACG=\angle BDF$, $\therefore \triangle CAG\cong \triangle DFB(ASA)$
$\therefore AG=BF, FD=GC$, $\because AF=FB=CD\Rightarrow BF=FA=AG=FG$
即$\triangle AFG$ 是等边三角形.
所以$\angle AFG=60^{\circ}\Rightarrow \angle BFC=120^{\circ}$.