每日一题：2020-08-01

在直角坐标系中有三点$A(0,1),B(1,3),C(2,6)$, 已知直线$y=ax+b$ 上横坐标为$0,1,2$ 的
点分别为$D,E,F$, 试求$a,b$ 的值使得$AD^2+BE^2+CF^2$ 达到最小值.

参考思路

因为$D,E,F$ 的坐标分别为$D(0,b),E(1,a+b),F(2,2a+b)$, 所以
AD^2+BE^2+CF^2 =(b-1)^2+(a+b-3)^2+(2a+b-6)^2 \\ =5a^2+6ab+3b^2-30a-20b+46 =5a^2+(6b-30)a+3b^2-20b+46 \\ =5(a+\frac{3}{5}b-3)^2-5(\frac{3}{5}b-3)^2+3b^2-20b+46 \\ =5(a+\frac{3}{5}b-3)^2+\frac{6}{5}b^2-2b+1=5(a+\frac{3}{5}b-3)^2+\frac{6}{5}(b-\frac{5}{6})^2+\frac{1}{6}
所以当$a+\frac{3}{5}b-3=0$ 且$b-\frac{5}{6}=0$ 时, 上式取得最小值,
此时$a=\frac{5}{2}, b=\frac{5}{6}$, 最小值为$\frac{1}{6}$.