每日一题：2020-08-04

每日一题: 2020-08-04

题目: 设$P,Q,R$ 分别是$\triangle ABC$ 三边$BC,CA,AB$ 上或它们延长线上的三点, 并且
$P,Q,R$ 三点中, 位于$\triangle ABC$ 边上的点的个数为$0$ 或$2$, 这时若$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}=1$.
求证: $P,Q,R$ 三点共线.

参考思路

设直线$PQ$ 与直线$AB$ 交于$R'$, 于是由梅涅劳斯定理得: $\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR'}{R'B}=1$.
又已知$\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB}=1\Rightarrow \frac{AR'}{R'B}=\frac{AR}{RB}\Rightarrow \frac{AR'}{AR'+R'B}=\frac{AR}{AR+RB}$.
所以有: $\frac{AR}{AB}=\frac{AR'}{AB}\Rightarrow AR=AR'$ 因为$P,Q,R$ 位于$\triangle ABC$ 边上的点的个数为$0$ 或$2$,
因此$R,R'$ 同在线段$AB$ 上, 或同在$AB$ 的延长线上, 无论哪种情况都有$R$ 与$R'$ 重合,
所以$P,Q,R$ 三点共线.