每日一题：2020-08-07

每日一题: 2020-08-07

题目: 在$\triangle ABC$ 中, $AM$ 是$BC$ 边的中线, $AD$ 是$\angle A$ 的平分线,
过$M$ 作$AD$ 的平行线, 分别交直线$AB,AC$ 于$E,F$.
求证: $BE=CF=\frac{1}{2}(AB+AC)$.

参考思路

思路一: 分别过$C,F$ 作$EM,AC$ 的平行线, 交于点$G$, 连结$BG$, 延长$EM$ 交$BG$ 于$N$.
易得$FEGC$ 为平行四边形, $FN$ 平分$\angle BFG$, 因为$MN\parallel CG, M$ 为$BC$ 中
点, 所以$N$ 为$BG$ 中点, 可得$\triangle ENB\cong \triangle ENG\Rightarrow EB=EG=FC$.
又$AE=AF\Rightarrow AB-BF=FC-AC\Rightarrow BE=CF=\frac{1}{2}(AB+AC)$.

思路二: 过$E$ 作$ET\parallel FC$ 交$BC$ 于点$T$.
因为$ET\parallel FC$, 所以$\frac{MT}{MC}=\frac{TE}{CF}$,
因为$EM$ 平分$\angle BET$, 所以$\frac{MT}{MB}=\frac{ET}{EB}$
由$MB=MC\Rightarrow \frac{ET}{FC}=\frac{ET}{EB}\Rightarrow EB=FC$, 下同思路一.

思路三: 直线$MEF$ 截$\triangle ABC$ 应用梅涅劳斯定理得:
$\frac{AE}{EB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{CF}{FA}=1\Rightarrow CF=BE$