每日一题：2020-08-09

每日一题: 2020-08-09

题目: 在交通拥挤及事故多发地段, 为确保交通安全, 规定在此地段内, 车距$d$ 是车速$v$
(公里/小时)的平方与车身长$s$ (米)积的正比例函数, 且车距不得小于车身长的一半, 现假
设车速为$50$ 公里/小时的时候, 车距恰为车身长.
(1) 试写出$d$ 关于$v$ 的分段函数式(其中$s$ 为常数);
(2) 问车速多大时, 才能使此地段的车流量$Q=\frac{1000v}{d+s}$ 最大.

参考思路

(1) 设$d=kv^2s$, 因为$v=50$ 时, $d=s$ 代入得$k=\frac{1}{2500}$, 所以$d=\frac{1}{2500}v^2s$.
当$d=\frac{1}{2}s$ 时, $v=25\sqrt{2}$. 所以
\[
d=\left\{\begin{array}{lr} \frac{1}{2}s, 0\lt v\leq 25\sqrt{2} \\ \frac{1}{2500}v^2s, v\gt 25\sqrt{2} \end{array}\right.
\]
(2)
\[
Q=\left\{\begin{array}{lr} \frac{2000v}{3s}, 0\lt v\leq 25\sqrt{2} \\ \frac{1000v}{s(1+\frac{v^2}{2500})}, v\gt 25\sqrt{2} \end{array}\right.
\]
对于第一个式, $v=25\sqrt{2}$ 时, Q_{最大值}=\frac{50000\sqrt{2}}{3s}.
对于第二个式, $Q=\frac{1000}{s(\frac{1}{v}+\frac{v}{2500})}\leq \frac{1000}{s\cdot 2\sqrt{\frac{1}{v}\cdot \frac{v}{2500}}}=\frac{25000}{s}$.
所以当$v=50$ 时, Q_{最大值}=\frac{25000}{s}
因为$\frac{25000}{s}>\frac{50000\sqrt{2}}{3s}$, 所以当车速为$50$ 公里/小时, 此地的
车流量达到最大.

注: 这里用到了一个基本不等式: 若$a,b$ 都是正数, 则有$a+b\geq 2\sqrt{ab}$, 当$a=b$ 时取等号.