每日一题：2020-08-12

每日一题: 2020-08-12

题目: (塞瓦定理) 在$\triangle ABC$ 内任取一点$O$, 延长$AO,BO,CO$ 分别交对边于$D,E,F$,
则有: $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=1$

参考思路

考虑面积法: 因为$\frac{BD}{DC}=\frac{S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ODC}}=\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ADC}}=\frac{S_{\triangle ABD}-S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ADC}-S_{\triangle ODC}}=\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle ACO}}$.
同理可得:
$\frac{CE}{EA}=\frac{S_{\triangle BCO}}{S_{\triangle BAO}}$; $\frac{AF}{FB}=\frac{S_{\triangle CAO}}{S_{\triangle CBO}}$.
因此有: $\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AE}{EB}=1$