每日一题：2020-08-13

每日一题: 2020-08-13

题目: $\triangle ABC$ 内有一点$P$, 连结$AP,BP,CP$ 并延长, 分别与对边相交, 把$\triangle ABC$
分成六个小三角形, 若这六个小三角形有三个面积相等, 则点$P$ 必为$\triangle ABC$ 的重心.

参考思路

六个小三角形有三个面积相等, 由对称形可分为四种情况讨论:
情况一: 如图所示: $S_{\triangle PBF}=S_{\triangle PBD}=S_{\triangle PDC}$
此时$BD=CD$, 所以$\frac{CP}{PF}=2$, 由梅涅劳斯定理可得: $\frac{CP}{PF}\cdot \frac{AF}{AB}\cdot \frac{BD}{DC}=1$,
所以$AF=BF$, 即$P$ 为重心.

情况二: 如图$S_{\triangle APF}=S_{\triangle DPB}=S_{\triangle PDC}$,
可得: $S_{\triangle AFC}=S_{\triangle ADC}\Rightarrow DF\parallel AC$, 所以$D,F$
分别为$BC,AB$中点, 即$P$ 为重心.

情况三: $S_{\triangle FBP}=S_{\triangle DPB}=S_{\triangle AEP}$, 此时有: $DE\parallel AB$.
根据塞瓦定理的: $\frac{AF}{BF}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{AE}=1\Rightarrow AF=BF$.
于是$S_{\triangle APF}=S_{\triangle BPF}$, 由情况一可得$P$ 为重心.

情况四: 如图: 已知$S_{\triangle PFB}=S_{\triangle PCD}=S_{\triangle PAE}=a$,
设$S_{\triangle PAF}=x, S_{\triangle PCE}=y, S_{\triangle PBD}=z$, 根据塞瓦定理有:
$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{z}{a}\cdot \frac{y}{a}\cdot \frac{x}{a}=1$
得$xyz=a^3$
(i) 若$x,y,z$ 互不相等, 不妨设$x\gt y\gt z\Rightarrow x\gt a, z\lt a$.
$1\lt \frac{a}{z}=\frac{CD}{DB}=\frac{a+y}{a+x}<1$矛盾
(ii) 若$x,y,z$ 在有相等, 不妨设$x=y$, 则$\frac{a}{z}=\frac{a+y}{a+x}=1\Rightarrow a=z$.
由$xyz=a^3\Rightarrow xy=a^2\Rightarrow x=y=z=a$,即$P$ 为重心.

综上, 点$P$ 必为$\triangle ABC$ 的重心.

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