每日一题：2020-08-14

每日一题: 2020-08-14

题目: 在图(1),图(2),图(3)中, 已知平行四边形$ABCD, \angle ABC=120^{\circ}$, 在$E$
为线段$BC$ 上的动点, 连结$AE$, 以$AE$ 为边向上作菱形$AEFG$, 且$\angle EAG=120^{\circ}$.
(1) 如图(2), 连结$AF$, 求证: 点$F$ 在$\angle ABC$ 的平分线上;
(2) 如图(3), 连接$EG,DG$, 并延长$DG$ 交$BA$ 的延长线于点$H$, 当四边形$AEGH$ 是平行
四边形时, 求$\frac{BC}{AB}$ 的值.

参考思路

(1) 思路1: 如图所示, 过点$F$ 作$BA,BC$ 所在直线的垂线, 垂直分别为$N,M$.
显然有$\angle FAB+\angle FEB=180^{\circ}\Rightarrow \angle FAN=\angle FEM$, 易得$\triangle FAN\cong \triangle FEM(AAS)$
所以$FN=FM$, 故$F$ 在$\angle ABC$ 的平分线上.

思路2: 如图所示, 作$\angle AFT=\angle AEB$ 交$AD$ 于$T$, 连结$BT$.
显然有$\triangle AFT\cong \triangle AEB(ASA)\Rightarrow \angle ATF=120^{\circ}, AT=AB$,
又$\angle BAD=60^{\circ}\Rightarrow \triangle ATB$ 为等边三角形. $\therefore \angle ATB=\angle ABT=60^{\circ}$.
$\because \angle FTA+\angle ATB=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow F,T,B$共线
因此$FB$ 为$\angle ABC$ 的平分线.

(2) 如图, 连结$FB$, 易得$\angle H=\angle HDA=30^{\circ}\Rightarrow AH=AD=BC$.
又$\angle HBF=60^{\circ}\Rightarrow \angle HFB=90^{\circ}$. 所以$\frac{BC}{AB}=\frac{AH}{AB}=3$