每日一题：2020-08-15

每日一题: 2020-08-15

题目: 如图, 直线$y=-\frac{4}{3}x+n$ 交$x$ 轴于点$A$, 交$y$ 轴于点$C(0,4)$, 抛物线
$y=\frac{2}{3}x^2+bx+c$ 经过点$A$, 交$y$ 轴于点$B(0,-2)$, 点$P$ 为抛物线上一个动点,
过点$P$ 作$x$ 轴的垂线$PD$, 过点$B$ 作$BD\bot PD$ 于点$D$, 连接$PB$, 设点$P$ 的横
坐标为$m$.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 当$\triangle BDP$ 为等腰直角三角形时, 求线段$PD$ 的长.

参考思路

(1) 易求得抛物线的解析式为: $y=\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x-2$.
(2) $\because P$ 的横坐标为$m$, $\therefore D(m,-2), P(m,\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m-2)$.
若$\triangle BDP$ 为等腰三角形, 则$PD=BD$
(a) 当$P$ 在直线$BD$ 上方时$PD=\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m$
(i) 若点$P$ 在$y$ 轴左侧, 则$m<0, BD=-m$, 由\frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m=-m\Rightarrow m_1=0(舍去), $m_2=\frac{1}{2}$ (舍去).
(ii) 若点$P$ 在$y$ 轴右侧, 则m>0, BD=m\Rightarrow \frac{2}{3}m^2-\frac{4}{3}m=m\Rightarrow m_3=0(舍去), $m_4=\frac{7}{2}$.
(b) 当$P$ 在直线$BD$ 下方时$m>0, BD=m,PD=-\frac{2}{3}m^2+\frac{4}{3}m$,
$\therefore -\frac{2}{3}m^2+\frac{4}{3}m=m\Rightarrow m_5=0$ (舍去), $m_6=\frac{1}{2}$.

综上所述, 当$m=\frac{7}{2}$ 或$\frac{1}{2}$ 时, $\triangle BDP$ 为等腰直角三角形.
此时$PD$ 的长为$\frac{7}{2}$ 或$\frac{1}{2}$.