每日一题：2020-08-18

每日一题: 2020-08-18

题目: 若直角三角形$\triangle ABC$ 中, $CK$ 是斜边上的高, $CE$ 是$\angle ACK$ 的角
平分线, $D$ 为$AC$ 中点, $F$ 是$DE$ 与$CK$ 的交点, 证明: $BF\parallel CE$.

参考思路

直线$DEF$ 截$\triangle ACK$ 应用梅涅劳斯定理得: $\frac{CD}{DA}\cdot \frac{AE}{EK}\cdot \frac{KF}{FC}=1$.
$\because CD=DA, AE$ 平分$\angle ACK\Rightarrow \frac{AE}{EK}=\frac{AC}{CK}$.代入上式得:

$\frac{AC}{CK}\cdot \frac{KF}{FC}=1$

又易证$\triangle ACK\backsim \triangle CBK\Rightarrow \frac{AC}{CK}=\frac{CB}{BK}$.
另一方面容易计算得: $\angle BCE=\angle BEC\Rightarrow BC=BE$.

$\therefore \frac{AC}{CK}=\frac{BE}{BK}\Rightarrow \frac{BE}{BK}=\frac{CF}{KF}\Rightarrow \frac{BE-BK}{BK}=\frac{CF-KF}{KF}\Rightarrow \frac{EK}{BK}=\frac{CK}{KF}$

所以$\triangle EKC\backsim \triangle BKF\Rightarrow \angle ECK=\angle BFK\Rightarrow BF\parallel CE$.