每日一题：2020-08-22

每日一题: 2020-08-22

题目: 设$x^2-px+q=0$ 的两实根为$\alpha,\beta$.
(1) 求以$\alpha^3,\beta^3$ 为根的一元二次方程.
(2) 若以$\alpha^3,\beta^3$ 为根的一元二次方程仍是$x^2-px+q=0$. 求所有这样的一元二次方程.

参考思路

(1) 由韦达定理得: $\alpha+\beta=p,\alpha\beta=q\Rightarrow \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)[(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta]=p(p^2-3q), \alpha^3\beta^3=q^3$.
故所求方程$x^2-p(p^2-3q)x+q^3=0$.
(2) 由题设及(1)得:
$p(p^2-3q)=p, q^3=q\Rightarrow q(q^2-1)=0\Rightarrow q=0,1,-1$
当$q=0\Rightarrow p^3-p=p(p^2-1)\Rightarrow p=0,1,-1$;
当$q=1\Rightarrow p(p^2-3)=p\Rightarrow p=0,2,-2$;
当$q=-1\Rightarrow p(p^2_3)=p\Rightarrow p=0$
所以所求方程有:
$x^2=0(p=q=0)$,
$ x^2+x=0(p=-1,q=0)$,$x^2-x=0(p=1,q=0)$,$x^2+1=0(p=0,q=1$ 舍去),
$x^2-2x+1=0(p=2,q=1)$,
$x^2+2x+1=0(p=-2,q=1)$,
$x^2-1=0(p=0,q=-1)$.