每日一题：2020-08-23

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每日一题: 2020-08-23

题目: 已知关于xx 的一元二次方程x2+bx+c=0x^2+bx+c=0,
(1) 若b,cb,c 是这个方程的两个不同的根, 求b,cb,c 的值;
(2) 设α,β\alpha,\beta 是这个方程的两个根, 分解因式:
[x2+(b+1)x+c]2+b[x2+(b+1)x+c]+c[x^2+(b+1)x+c]^2+b[x^2+(b+1)x+c]+c

参考思路

(1)由韦达定理的$b+c=-b,bc=c\Rightarrow $ 若c=0c=0, 则b=0b=0, 矛盾! 所以c≠0c\neq 0, 得b=1,c=−2b=1,c=-2.
(2) 原式=[(x2+bx+c)+x]2+b[(x2+bx+c)+x]+c[(x^2+bx+c)+x]^2+b[(x^2+bx+c)+x]+c
=(x2+bx+c)2+(2x+b)(x2+bx+c)+x2+bx+c=(x^2+bx+c)^2+(2x+b)(x^2+bx+c)+x^2+bx+c
=(x2+bx+c)(x2+bx+c+2x+b+1)=(x^2+bx+c)(x^2+bx+c+2x+b+1)
=(x2+bx+c)[(x2+bx+c)+2x−(α+β)+1]=(x^2+bx+c)[(x^2+bx+c)+2x-(\alpha+\beta)+1]
=(x−α)(x−β)[(x−α)(x−β)+(x−α)+(x−β)+1]=(x-\alpha)(x-\beta)[(x-\alpha)(x-\beta)+(x-\alpha)+(x-\beta)+1]
=(x−α)(x−β)(x−α+1)(x−β+1)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\alpha+1)(x-\beta+1)