每日一题：2020-08-26

每日一题: 2020-08-26

题目: 已知由小到大的$10$ 个正整数$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{10}$ 的和是$2000$, 那么$a_5$
最大值是多少? 此时$a_{10}$ 的最大值应是多少?

参考思路

考虑到$a_5$ 要最大, 用极端思想, 其余各项尽可能小.
$\because a_1\lt a_2\lt a_3\lt \cdots \lt a_{10}$, 且都是正整数.
$\therefore $ 由题意, 不妨令$a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4, a_5$ 尽可能大, $a_6=a_5+1, a_7=a_5+2,a_8=a_5+3, a_9=a_5+4, a_{10}=a_5+5$.
所以有$a_1+a_2+\ldots+a_{10}=1+2+3+4+a_5+a_5+1+a_5+2+\ldots+a_5+5=6a_5+25=2000$
解得$a_5=329\frac{1}{6}$
显然当$a_5=329$ 时, 要使$a_{10}$ 最大, 就要使$a_6,a_7,a_8,a_9$ 尽可能的小, 所以
$a_6=330, a_7=331,a_8=332, a_9=333$, 此时$a_{10}$ 取得最大值$335$.
当$a_5=330$ 时$a_6=331, a_7=332\ldots$ 显然不合题意(所有和大于$2000$ )

综上, $a_5$ 的最大值为$329$, 此时$a_{10}$ 的最大值为$335$.