每日一题：2020-08-29

每日一题: 2020-08-29

题目: 求不定方程$x^2+y^2=3(u^2+v^2)$ 的整数解

参考思路

显然$(x,y,u,v)=(0,0,0,0)$ 是一组整数解, 假定存在有不全为零的其它整数解, 且设其绝对
值之和最小的一组解为$(x_1,y_1,u_1,v_1)$, 设$m=|x_1|+|y_1|+|u_1|+|v_1|$.

由$x_1^2+y_1^2=3(u_1^2+v_1^2)$ 知: $3\mid (x_1^2+y_1^2)$,
将整数模$3$ 分类知有三类: $3k,3k+1,3k+2$, 其平方模$3$ 只能是$0$ 或$1$,
所以由$3\mid (x_1^2+y_1^2)\Rightarrow 3\mid x_1$ 且$3\mid y_1$.
设$x_1=3x_0,y_1=3y_0$ 代入得$9(x_0^2+y_0^2)=3(u_1^2+v_1^2)\Rightarrow u_1^2+v_1^2=3(x_0^2+y_0^2)$
同上可得$3\mid u_1$ 且$3\mid v_1$, 即$\frac{x_1}{3},\frac{y_1}{3},\frac{u_1}{3},\frac{v_1}{3}$仍然是
原不定方程得解. 但此时 $|\frac{x_1}{3}|+|\frac{y_1}{3}|+|\frac{u_1}{3}|+|\frac{v_1}{3}|=\frac{m}{3}\lt m$
这于$m$ 的最小性相矛盾, 故不存在其它不全为零的整数解.
原不定方程的整数解只有$(0,0,0,0)$.