每日一题：2020-08-30

每日一题: 2020-08-30

题目: 已知$k$ 和$l$ 都是正整数, 在形式$36^k-5^l$ 的数学中求绝对值最小的数, 并证明
所求的数确实最小.

参考思路

由于$36^k$ 的个位数都是$6$, $5^l$ 的个位数都是$5$, 则当$36^k\gt 5^l$ 时, $|36^k-5^l|$
的个位数是$1$, 当$36^k\lt 5^l$ 时, $|36^k-5^l|$ 的个位数是$9$.
(1) 先考虑$|36^k-5^l|$ 个位数为$1$ 的情况.
若$36^k-5^l=1\Rightarrow 5^l=36^k-1=(6^k+1)(6^k-1)$, 显然$5\nmid 6^k+1$
所以$36^k-5^l=1$ 不成立.
若$36^k-5^l=11\Rightarrow k=1,l=2$满足要求.
(2) 再考虑$|36^k-5^l|$ 的个位数是$9$ 的情况.
若$5^l-36^k=9$, 则由$3\mid 9, 3\mid 36^k\Rightarrow 3\mid 5^l$ 这是不可能的.

综上, 形如$36^k-5^l$ 的绝对值最小的数是$36-5^2=11$.