每日一题：2020-09-05

每日一题: 2020-09-05

题目: 若方程$x^2-3x+1=0$ 的两根$\alpha,\beta$ 也是方程$x^6-px+q=0$ 的根, 其中$p,q$
均为整数, 试求$p,q$ 的值.

参考思路

由韦达定理: $\alpha+\beta+3, \alpha\beta=1\Rightarrow \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=7$
$\alpha^4+\beta^4=(\alpha^2+\beta^2)^2-2\alpha^2\beta^2=7^2-2=47$
因为$\alpha,\beta$ 也是方程$x^6-px+q=0$ 的根, 则由
\[
\left\{\begin{array}{lr} \alpha^6-p\alpha^2+q=0 \\ \beta^6-p\beta^2+q=0 \end{array}\right.
\]
解得:$p=\frac{\alpha^6-\beta^6}{\alpha^2-\beta^2}=\alpha^4+\alpha^2\beta^2+\beta^4=48$
$q=\frac{\alpha^2\beta^2(\alpha^4-\beta^4)}{\alpha^2-\beta^2}=\alpha^2\beta^2(\alpha^2+\beta^2)=7$