每日一题：2020-09-06

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每日一题: 2020-09-06

阅读: 在数学语言中, 把一些对象放在一起考虑时, 就说这些对象组成了一个集合. 这些对象
中的每一个, 都叫作这个集合的一个元素. 例如, 若SS 是一个集合, aa 是SS 的一个元素
, 记作a∈Sa\in S, 读作"aa 属于SS ". 集合其中一种表示方法是列举法, 将集合中的元素一
一列举出来, 用大括号括起来, 相邻元素用逗号分隔. 例如, 小于1010 的正偶数组成的集合,
用列举法可以表示为{2,4,6,82,4,6,8}.
题目: 设AA 是由一些实数构成的集合, 若a∈Aa\in A, 则11−a∈A\frac{1}{1-a}\in A, 且1∉A1\notin A.
(1) 若3∈A3\in A, 求集合AA;
(2) 证明: 若a∈Aa\in A, 则1−1a∈A1-\frac{1}{a}\in A;
(3) 集合AA 中能否只有一个元素? 若能, 求出集合AA; 若不能, 说明理由.

参考思路

(1) 由11−3=−12;11−(−12)=23;11−23=3\frac{1}{1-3}=-\frac{1}{2}; \frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}; \frac{1}{1-\frac{2}{3}}=3
所以AA={3,−12,233,-\frac{1}{2},\frac{2}{3}}.
(2) 证明: ∵a∈A⇒11−a∈A⇒11−11−a=1−a−a=1−1a∈A\because a\in A\Rightarrow \frac{1}{1-a}\in A\Rightarrow \frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=\frac{1-a}{-a}=1-\frac{1}{a}\in A.

(3) 如果集合AA 只有一个元素, 则有a=11−a⇒a2−a+1=0a=\frac{1}{1-a}\Rightarrow a^2-a+1=0. 此二次方
程Δ=−3<0\Delta=-3<0, 没有实数解. 所以不可能只有一个元素.