每日一题：2020-09-07

每日一题: 2020-09-07

题目: 若对任意实数$x$, 关于$x$ 的不等式$(a^2-1)x^2-(a-1)x-1\lt 0$ 恒成立, 求实数$a$的取值范围.

参考思路

(1) 当$a^2-1=0$ 时, 则$a=\pm 1$. 当$a=1$ 时, 原不等式$-1\lt 0$, 满足题意;
当$a=-1$ 时, 原不等式$2x-1\lt 0\Rightarrow x\lt \frac{1}{2}$, 与题目不符.

(2) 若$a\neq \pm 1$, 则有
\[
\left\{\begin{array}{lr} \Delta=(a-1)^2+4(a^2-1)\lt 0 \\ a^2-1\lt 0 \end{array}\right.
\]
解得: $-\frac{3}{5}\lt a\lt 1$.

综上, 实数$a$ 的取值范围是$-\frac{3}{5}\lt a\leq 1$.