每日一题：2020-09-08

每日一题: 2020-09-08

题目: 已知$f(x)=x^2+ax+3-a$, 若$-2\leq x\leq 2$ 时, $f(x)\geq 2$ 恒成立, 求实数$a$的范围.

参考思路

要使得$f(x)\geq 2$ 在$-2\leq x\leq 2$ 时恒成立, 即当$-2\leq x\leq 2$ 时$f(x)$ 的最
小值$f(x)_{min}\geq 2$, 结合二次函数图象
(1) 若对称轴即直线$x=-\frac{a}{2}$ 在直线$x=-2$ 的左侧, 则当$-2\leq x\leq 2$ 时,
$f(x)$ 随$x$ 的增大而增大.此时, 问题等价于

\[
\left\{\begin{array}{lr} -\frac{1}{2}\lt -2 \\ f(x)_{min}=f(-2)=7-3a\geq 2 \end{array}\right.
\]

无解.
(2) 若对称轴即直线$x=-\frac{a}{2}$ 在直线$x=-2$ 非左侧且在直线$x=2$ 非右侧, 则当
$-2\leq x\leq 2$ 时, $f(x)$ 随$x$ 的增大先减后增, 于是问题等价于
\[
\left\{\begin{array}{lr} -2\leq -\frac{a}{2}\leq 2 \\ f(x)_{min}=f(-\frac{a}{2})=3-a-\frac{a^2}{4}\geq 2 \end{array}\right.
\]
解得: $-4\leq a\leq 2\sqrt{2}-2$.

(3) 若对称轴即直线$x=-\frac{a}{2}$ 在直线$x=2$ 的右侧, 则当$-2\leq x\leq 2$ 时,
$f(x)$ 随着$x$ 的增大而减小. 于是问题等价于
\[
\left\{\begin{array}{lr} -\frac{a}{2}\gt 2 \\ f(x)_{min}=f(2)=7+a\geq 2 \end{array}\right.
\]
解得$-5\leq a\lt -4$.
综上所述, 实数$a$ 的取值范围是$-5\leq a\leq 2\sqrt{2}-2$.