每日一题：2020-09-11

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每日一题: 2020-09-11

题目: 如图,在△ABC\triangle ABC 中, ∠C=90∘,∠ABC=30∘\angle C=90^{\circ},\angle ABC=30^{\circ}, 点
D,ED,E 分别是AB,ACAB,AC 的中点, 过点BB 作直线DEDE 的垂线段BMBM, 点FF 是直线EDED 上一
动点, 作Rt△BFGRt\triangle BFG 使得∠BFG=90∘,FGB=30∘\angle BFG=90^{\circ},FGB=30^{\circ}, 连接GDGD.
(1) 当FF 与点DD 重合时, 求GDFM\frac{GD}{FM} 的值.
(2) 当点FF 与点DD 不重合时, 请求出GDFM\frac{GD}{FM} 的值及两直线GD,EDGD,ED 夹角锐角的度数.
(3) 当点F,G,AF,G,A 在同一直线上时, 请求出BGFA\frac{BG}{FA} 的值.

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参考思路

(1) DGFM=2\frac{DG}{FM}=2
(2) ∵∠GBD=∠FBM=60∘−∠DBF\because \angle GBD=\angle FBM=60^{\circ}-\angle DBF, 且BMBD=BFBG=12\frac{BM}{BD}=\frac{BF}{BG}=\frac{1}{2}
得△△BMF∽△BDG⇒∠BMF=∠BDG=90∘\triangle \triangle BMF\backsim \triangle BDG\Rightarrow \angle BMF=\angle BDG=90^{\circ}.
故得∠EDG=60∘\angle EDG=60^{\circ}且GDFM=GBFB=2\frac{GD}{FM}=\frac{GB}{FB}=2.
(3) 画出图形不难求得BGFA=4−23\frac{BG}{FA}=4-2\sqrt{3} 或4+234+2\sqrt{3}