每日一题：2020-09-12

每日一题: 2020-09-12

题目: 如图, 在平面直角坐标系中, 四边形$OABC$ 是矩形, 点$A,C$ 分别在$x$ 轴和$y$ 轴
正半轴上, $OA=8, OC=6$, 点$D$ 在$BC$ 上, 且$CD=3BD$, 点$P$ 为线段$AB$ 上一动点(可
与$A,B$ 重合), 连接$DP$.
(1) 如图, 将$\triangle DBP$ 沿直线$DP$ 翻折, 得$\triangle DEP$, 连接$AE,CE$, 问四
边形$AOCE$ 的面积是否存在最小值, 求出这个最小值;
(2) 以线段$DP$ 为边, 在$DP$ 所在直线的右上方作等边$\triangle DPF$, 当点$P$ 从点$B$
运动到点$A$ 时, 点$F$ 也随之运动, 请求出点$F$ 的运动路径长.

参考思路

(1) 因为$S_{OAEC}=S_{\triangle OAC}+S_{\triangle ACE}$, 所以当$S_{AOCE}$ 的面积最
小时, 点$E$ 到$AC$ 的距离最小. 设$E,D$ 到$AC$ 的距离分别为$h,h_1$,
所以有$h+DE\geq h_1\Rightarrow h\geq h_1-2=\frac{18}{5}-2=\frac{8}{5}$.
此时$S_{AOCE}=S_{\triangle AOC}+S_{ACE}=24+\frac{1}{2}\times 10\times \frac{8}{5}=32$.

(2)如图所示作证三角形$\triangle BDF_1, \triangle ADF_2$,
易证$\triangle DPB\cong \triangle DFF_1$,且$\triangle DAP\cong \triangle DF_2F$ .
所以$F_1,F,F_2$ 共线, 故$F$ 的运动轨迹为线段$F_1F_2$, 点$F$ 运动路径长为$6$.