每日一题：2020-09-13

每日一题: 2020-09-13

题目: 某商品进货价为每件$50$ 元, 经市场调查得知, 当销售单价$x$ (元)在$50\lt x\lt 80$
范围内时, 每天售出的件数$P=\frac{10^5}{(x-40)^2}$. 若想每天获得的利润最大, 销售价
格应定为每件多少元?

参考思路

设销售价格定为$x$ 元, 所以每天的利润$y=\frac{10^5}{(x-4)^2}(x-50)$.
因为
$\frac{(x-40)^2}{(x-50)}=\frac{[(x-50)+10]^2}{x-50}=(x-50)+\frac{100}{(x-50)}+20\geq 2\sqrt{(x-50)\cdot \frac{100}{(x-50)}}+20=40$
$\therefore y\leq \frac{10^5}{40}=2500$, 当且仅当$x-50=\frac{100}{50}$ 即$x=60$ 或 $x=40$时
等号成立, 由已知$50\lt x\lt 80$, 所以$x=60$ 满足要求.

另解: 有已知得: $y=\frac{10^5}{(x-40)}(x-50)=\frac{10^5}{(x-40)^2}\cdot [(x-40)-10]=\frac{10^5}{(x-4)}-\frac{10^6}{(x-40)^2}$.
设$t=\frac{10^3}{(x-40)}$, 所以原式为$y=100t-t^2=-(t-50)^2+2500\leq 2500$当$t=50$
即$x=60$ 时取得最大值$2500$.