每日一题：2020-09-15

每日一题:2020-09-15

题目: 如图, 抛物线$y=ax^2-2ax-3a(a\neq 0)$ 与$x$ 轴交于点$A,B$. 与$y$ 轴交于点$C$,
连接$AC,BC$. 已知$\triangle ABC$ 的面积为$2$.
(1) 平行于$x$ 轴的直线与抛物线从左到右依次交于$P,Q$ 两点, 过点$P,Q$ 向$x$ 轴作垂线,
垂足分别为$G,H$. 若四边形$PGHQ$ 为正方形, 求正方形的边长;
(2) 平行于$y$ 轴的直线交抛物线于点$M$, 交$x$ 轴于点$N(2,0)$. 点$D$ 是抛物线上$A,M$
之间的一动点, 且点$D$ 不与$A,M$ 重合. 连接$DB$ 交$MN$ 于点$E$. 连接$AD$ 并延长交$MN$ 于
点$F$. 在点$D$ 运动过程中, $3NE+NF$ 是否为定值? 若是, 求出这个定值; 若不是, 请说明
理由.

参考思路

(1) 容易求得$a=-\frac{1}{3}$,如图所示,设$f(x)=-\frac{x^2}{3}+\frac{2x}{3}+1$ 要四边形$PQHG$ 为正方形,
则有$PG=GH$, 设 $G(m,0)\Rightarrow GH=2|1-m|$, 此时$PG=f(m)=-\frac{m^2}{3}+\frac{2m}{3}+1$
易求得边长$PG=6+2\sqrt{13}$ 或$2\sqrt{13}-6$.

(2) 如图, 设点$T(m,0)\Rightarrow DT=-\frac{m^2}{3}+\frac{2m}{3}+1$
$\because \triangle ADT\backsim \triangle AFN\Rightarrow \frac{NF}{DT}=\frac{NA}{TA}$
$\therefore \frac{NF}{-\frac{m^2}{3}+\frac{2m}{3}+1}=\frac{3}{m+1}\Rightarrow NF=3-m$.
同理由$\triangle BNE\backsim \triangle BTD\Rightarrow \frac{NE}{DT}=\frac{BN}{BT}$
$\therefore \frac{NE}{-\frac{m^2}{3}+\frac{2m}{3}+1}=\frac{1}{3-m}\Rightarrow NE=\frac{m+1}{3}$
所以有$NF+3NE=(3-m)+(m+1)=4$.