每日一题：2020-09-16

每日一题: 2020-09-16

阅读: 一般地,"若$p$, 则$q$ “为真命题, 是指由$p$ 通过推理可以得出$q$. 这时, 我们就
说, 由$p$ 可推出$q$, 记作$p\Rightarrow q$, 并且说$p$ 是$q$ 充分条件, $q$ 是$p$ 的
必要条件.
一般地, 如果既有$p\Rightarrow q$, 又有$q\Rightarrow p$, 就记作$p\Leftrightarrow q$.
此时, 我们说, $p$ 是$q$ 的充分必要条件, 简称充要条件. 显然, 如果$p$ 是$q$ 的充要条
件, 那么$q$ 也是$p$ 的充要条件.
题目: 设$\triangle ABC$ 的内角$A,B,C$ 的对边长分别为$a,b,c$. 求证: “关于$x$ 的方程
$x^2+2ax+b^2=0,x^2+2cx-b^2=0$ 有公共根” 的充要条件是”$A=90^{\circ}$ ".

参考思路

(1)必要性:
设关于$x$ 的方程: $x^2+2ax+b^2=0$ 与$x^2+2cx-b^2=0$ 有公共根$x_0$.
则$x_0^2+2ax_0+b^2=0, x_0^2+2cx_0-b^2=0$, 两式相减, 可得$x_0=\frac{b^2}{c-a}$,
代入$x_0^2+2ax_0+b^2=0\Rightarrow b^2+c^2=a^2\Rightarrow A=90^{\circ}$.

(2) 充分性:
因为$A=90^{\circ}$, 所以$b^2+c^2=a^2\Rightarrow b^2=a^2-c^2$.
代入方程$x^2+2ax+b^2=0\Rightarrow x^2+2ax-c^2=0\Rightarrow (x+a-c)(x+a+c)=0$.
代入方程$x^2+2cx-b^2=0\Rightarrow x^2+2cx+c^2-a^2\Rightarrow (x+c-a)(x+c+a)=0$.
故两个方程有公共根$x=-(a+c)$.
综上, 可知得证.