每日一题：2020-09-17

每日一题: 2020-09-17

题目:已知$a\geq \frac{1}{2}$, 设二次函数$f(x)=-a^2x^2+ax+c$, 其中$a,c$ 均为实数,
证明: 当$0\leq x\leq 1$ 时, 均有$f(x)\leq 1$ 成立的充要条件是$c\leq \frac{3}{4}$.

参考思路

因为$a\geq \frac{1}{2}$, 所以函数$f(x)=-a^2x^2+ax+c$ 图象的对称轴方程为直线$x=\frac{a}{2a^2}=\frac{1}{2a}$,
且$0\lt \frac{1}{2a}\leq 1$, 所以$f(x)\leq f(\frac{1}{2a})=\frac{1}{4}+c$.
先证充分性: 因为$c\leq \frac{3}{4}$, 且$f(x)\leq f(\frac{1}{2a})=\frac{1}{4}+c\leq \frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$.
所以$f(x)\leq 1$.
再证必要性: 因为$f(x)\leq 1$, 所以只需$f(\frac{1}{2a})\leq 1$ 即可. 即$\frac{1}{4}+c\leq 1\Rightarrow c\leq \frac{3}{4}$.

综上可知, 当$0\leq x\leq 1$ 时, 均有$f(x)\leq 1$ 成立的充要条件是$c\leq \frac{3}{4}$.