每日一题：2020-09-18

每日一题: 2020-09-18

题目: 求不等式$(a^2-3a+2)x^2+(a-1)x+2>0$ 的解集是全体实数的充要条件.

参考思路

(1)当$a^2-3a+2=0\Rightarrow a=1$ 或$a=2$.
当$a=1$ 时, 原不等式$2>0$ 恒成立. 所以$a=1$ 符合题意.
当$a=2$ 时, 原不等式为$x+2>0\Rightarrow x>-2$, 所以$a=2$ 不符合题意.
(2) 当$a^2-3a+2\neq 0$ 时, 则
\[
\left\{\begin{array}{lr} a^2-3a+2\gt 0 \\ \Delta=(a-1)^2-8(a^2-3a+2)<0 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} a\lt 1 或 a\gt 2 \\ a\lt 1 或 a\gt \frac{15}{7} \end{array}\right.
\]
故$a\lt 1$ 或$a\gt \frac{15}{7}$.

综上可知, 满足题意的充要条件时: $a\leq 1$ 或$a\geq \frac{15}{7}$.