每日一题：2020-09-19

每日一题: 2020-09-19

题目: 国家原计划以$2400$ 元/吨的价格收购某种农产品$m$ 吨. 按规定, 农户向国家纳税为:
每收入$100$ 元纳税$8$ 元(称作税率为$8$ 个百分点, 即$8\%$). 为了减轻农民负担, 制定积
极的收购政策. 根据市场规律, 税率降低$x$ 个百分点, 收购量能增加$2x$ 个百分点. 试确
定$x$ 的范围, 使税率调低后, 国家此项税收总收入不等于原计划的$78\%$.

参考思路

设税率调低后, 国家此项税收总收入为$y$ 元.
则$y=2400m(1+2x\%)(8-x)\%=-\frac{12}{25}m(x^2+42x-400) (0\lt x\leq 8)$.
依题意得: $y\geq 2400m\times 8\%\times 78\%$.
即$-\frac{12}{25}m(x^2+42x-400)\geq 2400m\times 8\%\times 78\%$
整理得$x^2+42x-88\leq 0\Rightarrow -44\leq x\leq 2$
结合$x$ 的范围$0\lt x\leq 8$, 得$0\lt x\leq 2$.