每日一题：2020-09-20

每日一题: 2020-09-20

阅读: 一般地, 对于正数$a_1,a_2,\ldots,a_n$, 我们把$A_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$
称为这$n$ 个数的算术平均数, $G_n=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 称为$a_1,a_2,\ldots,a_n$
的几何平均数. 可以证明有$A_n\geq G_n$. 请证明$n=2,3$ 时的情形.
即对于正数$a,b,c$, 请证明:
(1) $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$;
(2) $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

参考思路

(1) $a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0$, 所以$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$
当且仅当$a=b$ 时等号成立.
(2) 先证$a^3+b^3+c^3\geq 3abc$.
$a^3+b^3+c^3+abc\geq 2\sqrt{a^3b^3}+2\sqrt{c^3\cdot abc}=2ab\sqrt{ab}+2c^2\sqrt{ab}$
$\geq 2\cdot 2\sqrt{ab\sqrt{ab}\cdot c^2\sqrt{ab}}=4abc$.
即$a^3+b^3+c^3+abc\geq 4abc\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 3abc$. 当且仅当$a=b=c$ 时号成立.
故有$(\sqrt[3]{a})^3+(\sqrt[3]{b})^3+(\sqrt[3]{c})^3\geq 3\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[3]{b}\cdot \sqrt[3]{c}$
所以有$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$