每日一题：2020-09-21

每日一题: 2020-09-21

题目: 若两个不同的实数$a,b$ 使得$a^2+b$ 和$a+b^2$ 都是有理数, 则称数队$(a,b)$ 是"和谐"的.
(1) 找出一对无理数$a,b$, 使得$(a,b)$ 是"和谐"的;
(2) 证明: 若$(a,b)$ 是"和谐"的, 且$a+b$ 是不等于 $1$ 的有理数, 则$a,b$ 都是有理数.

参考思路

(1) $a=\frac{1+\sqrt{2}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$ 满足要求, 答案不唯一;
(2) 按题设$(a^2+b)-(b^2+a)=(a-b)(a+b-1)$ 为有理数, 记为$q$.
$\because a+b-1\neq 0$, 且为有理数, 所以$a-b=\frac{q}{a+b-1}$ 为有理数.
又$a+b$ 为有理数, 所以$a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}$ 为有理数, $b=\frac{(a+b)-(a-b)}{2}$ 为有理数.