每日一题：2020-09-22

每日一题: 2020-09-22

题目: 设实数$a,b$ 满足: $3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0$. 求$u=9a^2+72b+2$ 的最小值.

参考思路

因为$3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=(a-2b)(3a-4b+5)=0\Rightarrow a-2b=0$ 或$3a-4b+5=0$.
(1) 当$a-2b=0$ 时, $u=9a^2+72b+2=36b^2+72b+2=36(b+1)^2-34$.
当$b=-1$ 时, $u$ 的最小值为$-34$, 此时实数队$(a,b)=(-2,-1)$.
(2) 当$3a-4b+5=0$ 时, $u=9a^2+72b+2=16b^2+32b+27=16(b+1)^2+11$,
当$b=-1$ 时, $u$ 的最小值为$11$, 此时实数队$(a,b)=(-3,-1)$.
综上可知, $u$ 的最小值为$-34$.