每日一题：2020-09-24

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每日一题: 2020-09-24

题目: [x][x] 表示不超过实数xx 的最大整数, 令{xx}=x−[x]x-[x].
(1) 找出一个实数 xx, 满足{xx}+{1x\frac{1}{x}}=11;
(2) 证明: 满足上述等式的xx, 都不是有理数.

参考思路

(1) 取x=3+52x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, 则1x=3−52\frac{1}{x}=\frac{3-\sqrt{5}}{2},
于是{xx}=3+52−2=5−12\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, {1x\frac{1}{x}}=3−52\frac{3-\sqrt{5}}{2}.
所以有: {xx}+{1x\frac{1}{x}}=5−12+3−52=1\frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1.
(2) 设x=m+α,1x=n+βx=m+\alpha, \frac{1}{x}=n+\beta, 其中m,nm,n 是整数, 0≤α,β<10\leq \alpha,\beta<1.
则α+β=1,x+1x=m+n+1\alpha+\beta=1, x+\frac{1}{x}=m+n+1 于是有: x2−(m+n+1)x+1=0x^2-(m+n+1)x+1=0.
得x=12(m+n+1±(m+n+1)2−4)x=\frac{1}{2}(m+n+1\pm \sqrt{(m+n+1)^2-4})
当(m+n+1)2=4(m+n+1)^2=4 时, x=±1x=\pm 1, 均不满足要求.
当(m+n+1)2>4(m+n+1)^2>4 时, 若(m+n+1)2−4=k2(m+n+1)^2-4=k^2, (其中kk 为正整数), 则
(m+n+1−k)(m+n+1+k)=4(m+n+1-k)(m+n+1+k)=4,
由于m+n+1−k<m+n+1+km+n+1-k\lt m+n+1+k, 且他们同奇偶, 所以
\[
\left\{\begin{array}{lr} m+n+1-k=-2 \\ m+n+1+k=-2 \end{array}\right. 或
\left\{\begin{array}{lr} m+n+1-k=2 \\ m+n+1+k=2 \end{array}\right.
\]
均不能成立, 故(m+n+1)2−4(m+n+1)^2-4 不是完全平方数, 从而xx 是无理数.