每日一题：2020-09-25

每日一题: 2020-09-25

题目: 实数$a,b$ 使得关于$x,y$ 的方程组

$\begin{cases} xy-x^2=1\cr xy^2+ax^2+bx+a=0 \end{cases}$

有实数解$(x,y)$.
(1) 求证: $|y|\geq 2$;
(2) 求$a^2+b^2$ 的最小值.

参考思路

(1) 由方程知$x\neq 0$ 且$y=x+\frac{1}{x}$, 所以, 当$x\gt 0$ 时, $y\geq 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$,
当$x\lt 0$ 时, $y=-(-x+\frac{1}{-x})\leq -2$. 故有$|y|\geq 2$.

(2) 将$x^2=xy-1$ 代入$xy^2+ax^2+bx+a=0$ 得$x(y^2+ay+b)=0\Rightarrow y^2+ay+b=0$.
因为方程组有实数解, 所以方程$y^2+ay+b=0$ 在$y\leq -2$ 或$y\geq 2$ 的范围内至少有一个实根.
(i) 当$|a|\leq 4$ 时, 有

\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}\leq -2 或 \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}\geq 2

所以$\sqrt{a^2-4b}\geq 4-a$ 或$\sqrt{a^2-4b}\geq 4+a$
即$2a\geq b+4$, 或$2a\leq -(b+4)$,
若$b+4\geq 0$, 即$b\geq -4$ 时, $|2a|\geq b+4$, 由此得

$a^2\geq \frac{b^2}{4}+2b+4\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{5}{4}b^2+2b+4=\frac{5}{4}(b+\frac{4}{5})^2+\frac{16}{5}.$

当$b=-\frac{4}{5}$ 时, 上述不等式等号成立, 此时$a=\pm \frac{8}{5}$.

若$b+4<0$ 即$b<-4$ 时, 对于满足$2a\geq b+4$ 或$2a\leq -(b+4)$ 的任意实数$a$, 均有$a^2+b^2>\frac{16}{5}$.

(ii) 当$|a|>4$ 时, 则$a^2+b^2>\frac{16}{5}$.
综上, $a^2+b^2$ 的最小值为$\frac{16}{5}$.