每日一题：2020-09-27

每日一题: 2020-09-27

题目: 已知实数$a,b,c,d$ 互不相等, 且$a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{d}=d+\frac{1}{a}=x$, 求$x$ 的值.

参考思路

由题设有$a+\frac{1}{b}=x$, $b+\frac{1}{c}=x$, $c+\frac{1}{d}=x$,$d+\frac{1}{a}=x$,
得$b=\frac{1}{x-a}$, 代入$b+\frac{1}{c}=x\Rightarrow c=\frac{x-a}{x^2-ax-1}$ 再代
入$c+\frac{1}{d}=x\Rightarrow dx^3+(ad+1)x^2-(2d-a)x+ad+1=0$
由$d+\frac{1}{a}=x\Rightarrow ad+1=ax$ 代入上式得$(d-a)(x^3-2x)=0\Rightarrow x(x^2-2)=0$.
若$x=0$, 则$c=\frac{-a}{-1}=a$, 与条件结论矛盾, 所以$x^2-2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{2}$.