每日一题：2020-09-28

每日一题: 2020-09-28

题目: 设$x,y,z$ 是任意实数, 证明恒等式

$| |x-y|+x+y-2z|+|x-y|+x+y+2z=4 \max( x,y,z)$

其中$\max(x,y,z)$ 表示$x,y,z$ 的最大值.

参考思路

(1)若 $x=\max(x,y,z)$, 则$x\geq y, x\geq z$ 于是

$A=|x-y+x+y-2z|+x-y+x+y+2z|=2|x-z|+2x+2z=4x$

(2)若$y=\max(x,y,z)$, 则$y\geq x,y\geq z$,于是

$A=|y-x+x+y-2z|+y-x+x+y+2z=2(y-z)+2y+2z=4y$

(3) 若$z=\max(x,y,z)$, 则$z\geq x,z\geq y$ 于是

$A=|2\max(x,y)-2z|+2\max(x,y)+2z=2z-2\max(x,y)+2\max(x,y)+2z=4z$